Sistema t da cui dipendono gli stati è

Sistema dinamico nel discreto

 

Non tutti i sistemi che capaci di evolversi nel
tempo si prestano a essere descritti da un sistema dinamico continuo; prima abbiamo
prima usato il termine ‘continuo’ per sottolineare che il parametro t da cui
dipendono gli stati è un numero reale ma esistono anche sistemi dinamici discreti
cioè quelli in cui l’orbita è una successione di stati{Xj}?j=0?W, con W aperto di ?n.

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Un sistema dinamico discreto nel tempo rappresenta
quindi una relazione tra il valore X(t) della variabile di stato al tempo t e i
suoi valori a tempi successivi.

La legge che regola un sistema dinamico discreto è
in genere di tipo ricorsivo (cioè che si rinnova o si ripete a intervalli
regolari) per cui, data un’applicazione vettoriale f:W?W, si definisce il
sistema dinamico richiedendo che sia soddisfatta la relazione Xk+1=ƒ(Xk) per ogni intero k?0.

Naturalmente, per determinare univocamente un’orbita
è necessario specificare il valore iniziale X0
della successione e una volta che X0
è noto, l’esistenza e l’unicità di un’orbita del sistema dinamico discreto sono
garantite dal principio di induzione.

L’informazione su un sistema dinamico nel discreto
si traduce in equazione che esprimono un legame tra i valori della variabile x
in tempi successivi (equazioni alle differenze): Xt+1=ƒ(t, xt) con x0
come condizione iniziale

 

 

 

1.4 I sistemi
lineari

 

Un sistema lineare è detto lineare se tutte e due le
soluzioni delle equazioni di movimento possono essere combinate attraverso una
semplice aggiunta per generare una terza soluzione, date le definizioni
appropriate degli zeri delle variabili.

Il sistema delle equazioni può essere estremamente
complicato rappresentando un gran numero di variabili con tutti i tipi di
strutture logiche associate e connesse tra di loro, comprese le complesse reti
di relazioni causali tra variabili, ritardi temporali tra causa ed effetto,
arbitrariamente complesse e disomogenee nello spaziali.

Un modo per riconoscere un sistema dinamico lineare è osservare
se le sue equazioni di moto coinvolgono solo funzioni polinomiali di grado 1
nelle variabili di sistema; non ci saranno prodotti di diverse variabili di
sistema o funzioni non banali di qualsiasi variabile individuale (Esempi di
funzioni non banali includono quadrati o radici quadrate, le funzioni di soglia
che specificano la commutazione discontinua di parametri come le variabili di
sistema che cambiano, o le quantità che hanno semplici interpretazioni
geometriche ma risultano essere complicate funzioni delle variabili
fondamentali.)

Le sfumature di qualsiasi ordine possono apparire,
tuttavia, così come i coefficienti che sono funzioni non banali della posizione
e del tempo spaziali.

Per tutti i tipi di sistemi lineari, il vincolo che la
somma di due soluzioni deve essere anch’essa una soluzione ha conseguenze
profonde; in poche parole, la gamma completa di comportamento di un sistema
lineare è intesa non appena il suo comportamento in una regione infinitesimale
del suo spazio di stato è compreso.

In assenza di una forza motrice esterna, c’è una
soluzione speciale per tutto il sistema lineare in cui le variabili sono “time dependent” e dove tutto resta
fermo; questa soluzione è chiamata punto
fisso.

Un esempio banale è il punto di equilibrio di un peso
appeso ad una molla ideale in un campo gravitazionale perfettamente uniforme; qui
le variabili di sistema sono la posizione e la velocità del peso, che possono
essere entrambi definiti per essere zero al punto fisso.

Quando le variabili sono definite in modo da essere
zero nel punto fisso, la linearità implica che ogni soluzione può essere
moltiplicata per un fattore arbitrario per produrre un’altra soluzione.

Così le soluzioni con ampiezze arbitrariamente grandi possono essere
moltiplicate per un fattore arbitrariamente piccolo al fine rendere le
soluzioni infinitesimamente vicino al punto fisso, indicandoci così le possibili
soluzioni; la situazione è ulteriormente semplificata dal fatto che le
soluzioni nelle vicinanze del punto fisso possono essere di soli tre tipi:
stabile, instabile e marginale.

Ø  In un
sistema lineare stabile, tutte le
soluzioni asintoticamente approcciano al punto fisso con il passare del tempo.
Il caso tipico è che a partire da qualsiasi punto iniziale nello spazio di
stato, le variabili decadono verso il punto fisso avvicinandosi rapidamente ad una
linea particolare nello spazio dello stato per poi rilassarsi in modo
esponenziale lungo quella linea verso l’origine.

Ø  In un
sistema instabile, tutte le
soluzioni che non si avviano esattamente verso il punto fisso divergono da esso
in modo esponenziale nei lunghi periodi.

Il caso marginale, in cui le variabili non decadono a
zero, né divergono, si verifica principalmente in sistemi “Hamiltoniani”, in cui la
conservazione dell’energia proibisce la convergenza o la divergenza delle
traiettorie spaziali nelle vicinanze.

Ø  La stabilità
marginale si verifica poi solo come
un caso molto speciale in cui i parametri sono stati accuratamente
sintonizzati, anche se ci sono segnali che suggeriscono che la stabilità
marginale potrebbe riapparire spontaneamente in alcuni sistemi di auto-organizzazione
non lineare.

Ci si interessa spesso a sistemi dissipativi
sottoposti a guida esterna di qualche tipo, sia che si tratti di un input
costante di energia o di una guida con una più complicata struttura temporale.

In tali sistemi, la nozione di punto fisso deve essere
generalizzata per includere movimenti costanti o regolarmente ripetitivi; per
esempio, se il soffitto da cui una molla pesata e smorzata è appeso
costantemente oscillando su e giù, il peso non si fermerebbe in un punto fisso
ma potrebbe continuare con oscillazioni normali per un periodo che corrisponde
all’oscillazione del soffitto.

Tali traiettorie sono chiamate cicli limite e, come punti fissi, possono essere stabili o
instabili.

I punti fissi stabili e i cicli limite sono chiamati attrattori, in quanto le traiettorie
nello spazio dello stato alla fine scorrono verso di loro e poi restano molto
vicine a loro in tempi lunghi.

Se cominciamo ad osservare un sistema quando è lontano
dal suo attrattore e osservarlo per lungo tempo, saremo in grado di rilevare il
suo movimento verso l’attrattore per un po’, ma ad un certo punto sarà così
vicino all’ attrattore che non potremmo più notare la differenza.

La parte della traiettoria su cui possiamo osservare
il progresso verso l’attrattore è chiamata transitoria;
il set di punti nello spazio di stato che si trovano su transitori associati a
un particolare attrattore è chiamato il bacino
di attrazione dell’attrattore.

In un sistema lineare stabile, tutti i punti nello spazio
dello stato si trovano nello stesso bacino di attrazione; in altre parole, per
qualsiasi configurazione iniziale delle variabili di sistema, il destino finale
del sistema è lo stesso punto fisso o ciclo limite.

 

 

1.5 I
sistemi dinamici non lineari

 

Un modello dinamico si dice non lineare in funzione
della relazione che lega lo stato al tempo t+1 con lo stato al tempo t nel
discreto e la variabile di stato e la sua derivata nel continuo.

I sistemi lineari sono spesso studiati in grande
dettaglio e possono essere risolti esattamente ed essere usati come buone
approssimazioni a quelli non lineari in situazioni in cui le traiettorie
rimangono molto vicine ad un punto fisso o ad un ciclo limite stabile. Essi non
possono tuttavia catturare molte delle caratteristiche qualitative più
importanti dei sistemi reali.

Tutti i sistemi fisici descrivibili in termini di
equazioni classiche di movimento sono non lineari.

In tutti i sistemi reali, le deviazioni di ampiezza
abbastanza grandi richiedono termini non lineari nel modello pertinente e non
esiste una cosa come una molla veramente lineare o un’onda su un fluido che
obbedisca ad un’equazione di movimento perfettamente lineare.

Questo è il motivo per cui lo studio della dinamica
non lineare ha una rilevanza così ampia e le conseguenze della non linearità
sono profonde.

Cosa molto importante è che i sistemi non lineari
possono contenere attrattori multipli, ognuno con il proprio bacino di
attrazione cosicché, il destino di un sistema dinamico non lineare, può dipendere
dal suo stato iniziale e da tutta una nuova serie di fenomeni che si associano
al modo in cui i bacini di attrazione variano come parametri.

La non linearità può anche dare origine ad un tipo
completamente nuovo di attrattore.

I cicli di limite nei sistemi non lineari possono
essere abbastanza complicati, girando intorno in una regione limitata di spazio
di stato molte volte prima di chiudersi definitivamente su se stessi.

Nei sistemi estesi nello spazio, le non linearità
possono dare origine alla formazione di modelli che scaturiscono dalla
creazione spontanea di attrattori con struttura spaziale non banale in un
sistema senza disomogeneità imposte esternamente.

In economia, i fenomeni di osservazione non sono
necessariamente lineari, cosicché le equazioni differenziali lineari e quelle a
coefficienti costanti (a seconda che si tratti il fenomeno nel continuo o nel
discreto) possono non essere lo strumento più adatto per analizzare questi
problemi dinamici; tale premessa non è però sufficiente per dissuadere dall’uso
di tali equazioni in quanto esse sono sempre risolvibili, mentre, se ci
addentriamo nel campo delle equazioni differenziali non lineari a coefficienti
non costanti, non si ha la certezza di ottenere una soluzione esplicita.

Un altro fattore da tenere presente è che mentre la
linearità è unica, le non linearità sono potenzialmente infinite; oltremodo la
non linearità è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per conseguire
dinamiche complesse.

Una delle caratteristiche inerenti le dinamiche dei
sistemi complessi è la presenza di fluttuazioni non-periodiche che risultano
essere non-stocastiche (dette anche dinamiche
erratiche o dinamiche esotiche),
e che scaturiscono da un sistema dinamico deterministico: il cosiddetto “caos deterministico”.

La comprensione dei sistemi dinamici non lineari rappresenta
uno dei problemi scientifici più antichi; tra di essi possiamo annoverare l’osservazione
di incognite ricollegate alla meccanica dei pianeti e di problemi di tipo
geometrico.

Il più celebre studioso delle dinamiche geometriche è sicuramente
stato Henri Poincarè il quale intuì
per primo l’importanza dell’osservazione dello spazio in senso strutturale
nelle sue fasi intese come traiettorie dinamiche.

Le scoperte di Poincarè furono poi approfondite da George David Birkhoff e parzialmente
dalle analisi di stabilità di Aleksandr
Michajlovi? Ljapunov, ma queste idee ebbero un impatto marginale sullo
studio delle dinamiche applicate; Poincarè e Birkhoff erano alla ricerca di
soluzioni inerenti problemi di meccanica celeste, concentrandosi
prevalentemente sui sistemi conservativi Hamiltoniani per i quali vale il
teorema di Liouville in cui la derivata temporale totale di densità di un tale
sistema è nulla per cui,  gli stati di un
sistema, occupano nello spazio delle fasi volumi sempre uguali anche se
distorti in conseguenza delle traiettorie percorse dai singoli punti.

Il caos può definirsi come il comportamento
apparentemente stocastico generato da un sistema dinamico deterministico che
sia non lineare intendendo per “apparentemente stocastico” il sentiero casuale
generato da una variabile stocastica.

I sistemi dinamici non lineari, relativamente alle
cause che li indirizzano verso stati caotici, sono caratterizzati dalle
seguenti conformazioni:

 

Ø  La variabile xt+1 è
un prodotto di xt in
quanto gli eventi passati condizionano il presente (sistemi di feedback);

 

Ø  In determinate condizioni emergono punti critici
corrispondenti ai cosiddetti valori di biforcazione dove esiste più di un
equilibrio (livelli critici);

 

Ø  Tali sistemi presentano la caratteristica di auto
similarità in quanto la forma iniziale dell’insieme subisce un frazionamento
ripetuto nel tempo anche infinite volte, dimensionando le singole forme anche a
livello infinitesimale, mentre il confine della figura complessiva, sebbene sia
contenuta in una regione limitata dello spazio, tende ad assumere una
dimensione infinita (sistema frattale);

 

Ø  Le condizioni iniziali del sistema condizionano profondamente
i percorsi evolutivi del sistema stesso in quanto ogni minuscola differenza dalle
condizioni di partenza genera sentieri completamente diversi (dipendenza dalle condizioni iniziali).

 

 

 

 

 

CAPITOLO 2

Il Caos nei
sistemi dinamici non lineari

 

2.1 Sistemi
dinamici ed equazioni differenziali

 

Un sistema
non lineare è un sistema in cui le equazioni di evoluzione
temporale sono non lineari in quanto le variabili dinamiche che descrivono il
sistema compaiono nell’equazione in forma non lineare.

Nei sistemi dinamici, per specificare la posizione
di un punto sul piano cartesiano occorre specificare sia la posizione che la
derivata rispetto al tempo t e per questo motivo le equazioni differenziali
rivestono un ruolo molto importante nella modellizzazione dei sistemi dinamici,
descrivendo di fatto il modo in cui i sistemi mutano in modo continuo nel tempo
attraverso cioè la relazione fra una variabile x e la sua derivata x’.

  I sistemi
dinamici sono perciò leggi deterministiche che descrivono, almeno in termini
numerici, l’evoluzione di un sistema a partire dal suo stato iniziale1.

 Come si è
detto, è possibile scrivere l’equazione che rappresenta tale evoluzione tramite
equazioni differenziali, come ad esempio una equazione differenziale ordinaria del primo ordine:

 

La funzione ƒ U??n con U sottoinsieme
aperto di ?n x ? che
rappresenta lo spazio di movimento del sistema determinato specificando in ogni
istante la sua posizione e la sua derivata; la
suddetta equazione descrive un campo vettoriale per cui una funzione che
associa ad ogni punto dello spazio un vettore dello stesso spazio.

Un campo vettoriale sul piano è rappresentabile visivamente
attraverso una distribuzione nel piano di vettori bidimensionali in modo tale che
il vettore immagine del punto x abbia
origine in x stesso e in modo analogo
è possibile visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.

Una delle possibili soluzioni alla suddetta
equazione è rappresentata da una curva tangente al vettore del campo; se la
stessa funzione non dipende dal tempo si dice autonoma e si può scrivere:

 

le cui soluzioni sono funzioni di ?:I?in cui I rappresenta un intervallo di ? tale che ? sia
continuo e differenziabile in I.

Se le variabili prese in considerazione sono 2 allora dovremo
costruire il seguente sistema di equazioni differenziali:

 

dove F e G sono di classe C1 e in cui una
soluzione x(t), y(t) di tale sistema dovrebbe essere descritta nello spazio (t,
x, y); anche tale sistema può essere autonomo rispetto al tempo t

 

considerando quindi t come un parametro e x(t), y(t) come una coppia di equazioni
parametriche di una curva nel piano x, y {? (t)t ?
I} che chiameremo equazione
caratteristica, traiettoria
oppure orbita; in esse t determina
un verso di percorrenza ed il vettore (x’,
y’) = (F, G) rappresenta il
vettore di velocità lungo che si muove lungo la traiettoria in modo tangente.

Particolare rilevanza rivestono i punti di
equilibrio o punti critici o punti singolari: si dice tale
una coppia (x0 , y0) tale che F(x0
, y0)= G(x0 , y0)=0; tale
denominazione deriva dal fatto che la coppia x(t)? x0  e y (t) ? y0  è soluzione costante del sistema, la cui
traiettoria si riduce al solo punto (x0 , y0).

Se sussiste un intorno che non contiene altri punti
critici allora il suddetto punto è detto isolato.

Oltre ai punti critici, altre traiettorie rilevanti
sono i cicli, cioè orbite costituite da una curva chiusa scaturenti da
soluzioni periodiche per le quali esiste T
> 0.

Analizzare un sistema autonomo vuol dire fornirne un
quadro generale rispetto alla sua evoluzione in termini di traiettorie; questa
operazione viene denominata ritratto di fase del sistema per cui
determinando gli eventuali punti critici si analizza la loro stabilità o
instabilità e studiando localmente le orbite in un intorno e le equazioni
differenziali delle traiettorie; si individua infine la presenza o meno di
orbite chiuse o cicli e i loro comportamenti.

Nell’intorno di ogni punto non critico, a tale
sistema è associata la seguente equazione differenziale, ottenuta eliminando t
dalle due equazioni del sistema

 

  con
F?0 
 con
G?0

 

La soluzione coincide, almeno localmente, con quella
delle traiettorie del sistema (chiamate curve integrali); data la non
dipendenza rispetto al tempo t, in queste
equazioni non si legge più il verso di percorrenza per comprendere l’andamento
della curva ma per poterlo determinare è necessario studiare i segni di F e G, dividendo
il piano di fase in aree crescenti e decrescenti per x=x(t) e y=y(t).

In ogni punto in cui F e G non sono contemporaneamente
nulle abbiamo allora un punto ordinario o
regolare, mentre in ogni punto in cui le due funzioni sono
simultaneamente nulle si dice punto singolare che rappresentano inoltre i cosiddetti stati di quiete, cioè stati in cui il sistema si trova in
equilibrio dato che in tale punto si ha per definizione

 

 

Un
sistema può avere vari punti singolari di tipo diverso e quindi ottenere nel
piano di fase vari domini con diverse proprietà e i cui limiti sono
rappresentati da traiettorie asintotiche dette traiettorie separatrici.

Tale
analisi qualitativa è fondamentale per poter analizzare i sistemi non lineari
che non possono essere integrati o la cui soluzione non può essere esplicitata.

 

 

2.2
Stabilità nei sistemi dinamici

 

Uno
degli aspetti focali nello studiare i sistemi dinamici è comprendere la
stabilità del sistema nel caso in cui questo subisca perturbazioni o piccole
modificazioni.

Supponendo
di considerare un sistema dinamico come rappresentazione di un fenomeno reale,
si devono ipotizzare alcuni errori o approssimazione del sistema stesso per
poterne capire il consequenziale comportamento; se il sistema dinamico non risulta
strutturalmente stabile gli errori e le approssimazioni fatte nel modello
possono causare mutazioni notevoli nella soluzione reale del problema, mentre
se il sistema dinamico in questione è strutturalmente stabile quei piccoli falli
del sistema potrebbero non avere alcuna influenza.

Nei
sistemi economici e finanziari, essendo per loro natura dei sistemi di tipo
aperto in quanto l’ambiente esterno causa continuamente delle piccole
“turbolenze” che rappresentano a tutti gli effetti degli choc esogeni anche e
soprattutto di piccole entità, è importante valutare il comportamento di tale
sistema dinamico in uno stato stazionario al verificarsi di perturbazioni
capaci di modificarne lo stato valutando al tempo stesso le conseguenti fluttuazioni
endogene interne al sistema.

Le
conseguenze derivate dalle perturbazioni condurranno ai seguenti contesti:

 

A)    Una
debole perturbazione crea nel sistema una modificazione limitata rispetto ad un’orbita
che non ha subito sconvolgimento cosicché il sistema potrà definirsi stabile
nel senso di Lyapunov e quindi in prossimità del punto di equilibrio x0 le soluzioni che
partono dentro l’attrattore V rimangono
in U per tutta l’evoluzione del
sistema.

 

B)    Gli
effetti turbolenti tendono a scemare con l’incedere del tempo ed in questo caso
si può affermare che il sistema propende a dimenticare le distorsioni esogene e
la soluzione del sistema è asintoticamente stabile per cui tutte le soluzioni, avvicinandosi,
si “confondono” asintoticamente con essa.

Questa
nozione si applica diffusamente ai sistemi dissipativi.

 

1 Medio
A., Gallo G., (1992), “Chaotic Dynamics, theory and applications to economy”,
Cambridge University Press, Cambridge

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